Posted By Mr. Thursday
不知道各位是否有接聽電話插撥 (call waiting) 的經驗？ 我們會先把第一個接聽的人先暫時停著，然後接聽新打來的電話。不知道目前插撥最多能接聽多少通電話？假設依照這個方法一直接聽新的插撥電話，就會一直把上一通電話暫時儲存，等新接通的電話結束後，再回復上一通、上上一通、一直到第一通接聽的電話。
堆疊 (Stack) 就是類似的資料結構。「堆疊」有兩個方法 (method) 可以呼叫：推進 (push) 和 彈出 (pop)。透過這兩個方法的使用，我們可以達到讓資料「先進後出」的效果 (LIFO: Last In First Out)。甚麼是先進後出呢？讓我們再舉一個例子：搭電梯。當我們搭電梯的時候，通常最先進電梯的會擠在後面，後進電梯的比較靠近門口。如果都是同一層離開電梯，剛才比較慢近來電梯的人，反而是比較早離開電梯的人，這就是「先進後出」(LIFO) 的效果了。
再回到剛才接聽插撥電話的例子，正好就是先進後出的例子！最後插撥的先結束對話，最早打來的最慢結束對話。接下來讓我們看看，堆疊實際運作的情形，會向下面這一張動畫所顯示的：
上面這張圖就是顯示堆疊 (stack) 把三個數字 1、2、3分別push到堆疊裡面的過程。堆疊本身看起來就像是我們把書本放在桌上的樣子一般，最早放的書本會在最底下，最後放的書本會在最上面。當我們把書本從最上面開始拿 (pop) 的時候，會拿到最後放的書本，最後才拿到一開始放下去的書本。因此把數字從堆疊 (stack) 裡面 pop出來的過程，會像下面這張動畫顯示的樣子：
從上面這張圖，我們可以看出來，我們依照1、2、3的順序把數字 push 到堆疊裡面，pop的時候出來的順序就會變成 3、2、1，也就是先進後出了！
堆疊在遞迴式走訪樹的應用
介紹完了堆疊，最常應用到堆疊這個資料結構的演算法，應該就是「遞迴」 (recursive) 方法了。所謂遞迴，就像是站在兩面鏡子之間，相同的影像不停地反射，只是每反射一次都小一些。之前接聽插撥的例子也是遞迴的例子，就是先暫停目前的工作，但是不是忘記，而是先依照順序存起來，然後先處理新的工作。等到新的工作處理完，再按照先進後出的順序，把剛才暫停的工作回覆過來處理好。
因此，之前在〈由樹的前序、中序、後序走法來談資料結構〉裡面提到的前序、中序、後序的走法，也可以透過遞迴加上堆疊的資料結構來完成！譬如說上面這棵樹，我們從樹根7開始，發現有分支就往下走，但是我們先不把樹根忘掉，因此把樹根7 push到堆疊裡面。接者按照同樣的方法，往樹葉的方向走，一直走到樹葉的部分 ，再按照先進後出的順序，把堆疊pop出來的東西印出來，就是後序走訪這棵樹的方式了！
遞迴走訪樹的演算法如下 (移到文章後面以方便整理版面)
讓我們跑跑上面這一段演算法，演算法可以運作的東西，就是堆疊(stack)這個資料結構，以及輸入的這棵樹的資料結構。最後會輸出後序走訪這棵樹的過程。(請參考文章後面的過程，這邊先略過整理一下版面)
演算法和資料結構的用途
因此到目前為止，我們終於知道了演算法和資料結構的初步的概念，也終於看到了一些基本的應用，像是「樹」、「堆疊」、「遞迴」等應用。然而或許還是會有些疑惑，就是演算法和資料結構，要怎樣子在電腦上面跑呢？如果說電腦聽不懂人類的自然語言，電腦又要怎樣子聽懂演算法的敘述呢？這邊我想先用一個比方來說明，也就是作文的比方。
當我們寫一篇作文的時候，我們可能會有一些寫作方法，譬如說第一段寫主旨，第二段寫例子，第三段寫反立推翻第一個例子，第四段寫結論，如此起承轉合，完成一篇文章。我們可能進一步把題目分成敘述文、論說文、和抒情文。不同種類的文章，我們會有不同的段落起承轉合。然而各類題目的段落安排方式，和我們用字淺詞的方式，可以分開來。甚至同樣的段落安排，我們可以用英文來寫。
因此演算法和電腦的關係，有些類似上面寫作比方的關係。電腦只看得懂機器0101碼，但是我們有高階程式語言，像是C, C++, 或是JAVA，透過編譯器 (compiler) 或是直譯器 (Interpreter)，可以把我們寫的程式翻譯成機器看的懂的機器0101碼。程式語言，就如同寫作的時候，可能用中文寫，也可能用英文寫。但是演算法和資料結構，則是像寫作的時後段落安排的方法，論說文一種方法，敘述文一種方法，抒情文一種方法，是一種介於作文題目和文章句子之間的轉換過程！
整理起來，寫作可以分成下面四個層次：
- 作文題目和題型 (敘述文、論說文、抒情文、其他題型)
- 段落安排 (針對題型的解決方法)
- 文章實際的句子 (可以是中文、也可以是英文)
- 每個單字的字母筆劃，或是中文字的筆劃 (包括標點符號的使用)
演算法資料結構對應這個層次的比方：
- 要電腦處理的問題和問題類型 (排序、搜尋、比對)
- 演算法和資料結構 (針對問題提出的解決方法)
- 實際寫出程式 (演算法可以和程式一一對應，但不限任一種程式語言)
- 程式透過編譯器(compiler)翻譯成機器0101碼
不知道看完這個例子，各位是否更了解資料結構的角色呢？電腦看不懂演算法或資料結構，但是演算法和資料結構，卻是問題解法和程式語言之間的橋樑！
下面列出剛才提到的地迴走訪樹的演算法和執行過程。樹 (tree) 除了可以排序、搜尋、搭配遞迴和堆疊以外，還有本體論 (Ontology) 的應用。其他各種樹狀結構，像是壘堆 (heap)、追求效率而發明的紅黑樹 (Red-Black Tree) 和費布那西樹 (Fibonacci Tree)等等。日後有機會再一一向各位介紹吧！
遞迴走訪樹的演算法如下
1. 設定目前節點在樹根
2. 如果目前節點有子節點 (child node)，就把目前節點先 push到堆疊，然後往下走。有兩個子節點的話先走左邊再走右邊的子節點。
3. 如果目前節點沒有子節點 (child node)，或是子節點已經拜訪過，就印出目前節點的號碼，並且 pop 出堆疊上一次儲存的節點，設定成現在要拜訪的節點，然後回到步驟2，直到堆疊變成空堆疊為止。
執行遞迴和堆疊來後序拜訪一棵樹的執行過程
step1:
current node: 7
stack: (empty)
printed order: (empty)
step2:
current node: 7
stack: 7 (###push 7###)
printed order: (empty)
step3:
current node: 3 (###go to left child node###)
stack: 7
printed order: (empty)
step4:
current node: 3
stack: 7, 3 (###push 3###)
printed order: (empty)
step5:
current node: 1 (###go to left child node###)
stack: 7, 3
printed order: (empty)
step6:
current node: 1
stack: 7, 3
printed order: 1 (###print 1 because no other child nodes###)
step7:
current node: 3 (###go back to node 3###)
stack: 7 (###pop 3###)
printed order: 1
step8:
current node: 2 (###go to right child node)
stack: 7, 3 (###push 3 again###)
printed order: 1
step9:
current node: 2
stack: 7, 3
printed order: 1, 2 (###print 2 because no other child nodes###)
step10:
current node: 3 (###go back to node 3###)
stack: 7 (###pop 3###)
printed order: 1, 2
step11:
current node: 3
stack: 7
printed order: 1, 2, 3 (###print 3 because child nodes are visited###)
step12:
current node: 7 (###go back to node 7###)
stack: (empty) (###pop 7###)
printed order: 1, 2, 3
step13:
current node: 6 (###go to right child node###)
stack: 7 (###push back 7###)
printed order: 1, 2, 3
step14:
current node: 6
stack: 7, 6 (###push 6###)
printed order: 1, 2, 3
step15:
current node: 4 (###go to left child node###)
stack: 7, 6
printed order: 1, 2, 3
step16:
current node: 4
stack: 7, 6
printed order: 1, 2, 3, 4 (###print 4 because no other child nodes###)
step17:
current node: 6 (###go back to node 6###)
stack: 7 (###pop 6###)
printed order: 1, 2, 3, 4
step18:
current node: 5 (###go to right child node)
stack: 7, 6 (###push 6 again###)
printed order: 1, 2, 3, 4
step19:
current node: 5
stack: 7, 6
printed order: 1, 2, 3, 4, 5 (###print 5 because no other child nodes###)
step20:
current node: 6 (###go back to node 6###)
stack: 7 (###pop 6###)
printed order: 1, 2, 3, 4, 5
step21:
current node: 6
stack: 7
printed order: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (###print 6 because child nodes are visited###)
step22:
current node: 7 (###go back to node 7###)
stack: (empty) (###pop 7###)
printed order: 1, 2, 3, 4, 5, 6
step23:
current node: 7
stack: (empty)
printed order: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (###print 7 because child nodes are visited###)
done!
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